Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, изучающий такие вопросы, как распределение простых чисел, аддитивные проблемы, исследование поведения теоретико-числовых функций.
Одной из интереснейших и труднейших задач аналитической теории чисел, имеющей важные приложения, является проблема распределения простых чисел, включающая вопросы распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, а также оценки разности соседних простых чисел. Их решение лежит в изучении распределения нулей дзета-функции и её обобщений, так называемых L-рядов Дирихле. Гипотезу Римана о нулях дзета-функции по праву называют одной из задач тысячелетия.
К аддитивным задачам аналитической теории чисел относятся проблемы, связанные с уравнениями в целых числах специального вида. Основными вопросами в этой проблематике являются доказательство разрешимости диофантовых уравнений и систем уравнений, нахождение асимптотических формул для числа их решений. Классическими примерами аддитивных задач являются проблемы Варинга, Гольдбаха, Харди-Литлвуда.
К аналитической теории чисел относится и изучение свойств различных арифметических функций (функция Эйлера, количество делителей числа, функция Мёбиуса, функция Мангольдта и другие). Особенность таких функций состоит в том, что, хотя их поведение весьма нерегулярно, но их средние значения допускают достаточно гладкие оценки. Их получение также тесно связано с изучением дзета-функции Римана.
Основные методы аналитической теории чисел:
- метод комплексного интегрирования,
- круговой метод Харди-Литлвуда-Рамануджана,
- метод тригонометрических сумм,
- дисперсионный метод,
- метод большого решета.
Российская школа аналитической теории чисел имеет богатые традиции. Её основателем в стенах МПГУ нужно считать Александра Адольфовича Бухштаба. В 1939 году А.А. Бухштаб стал профессором кафедры алгебры Московского государственного педагогического института им. В.И. Ленина, в 1941 год он эвакуировался в Баку, а в 1944 год защитил докторскую диссертацию и возобновил работу в качестве профессора МГПИ, где проработал до конца своей жизни. Все научные работы А.А. Бухштаб посвящены теории чисел, подавляющая их часть — развитию и усовершенствованию метода решета и его применениям к классическим проблемам теории чисел: проблеме Гольдбаха, проблеме чисел-близнецов и проблеме представления простых чисел значениями многочленов с целыми коэффициентами.
Неоценим вклад А.А. Бухштаба в дело подготовки учителей математики. Он принимал активное участие в написании и составлении программ и учебных планов для пединститутов, является автором широко известного учебника «Теория чисел», которым активно пользуются уже несколько поколений студентов.
С 1976 года кафедрой теории чисел руководил доктор физико-математических наук, профессор Василий Ильич Нечаев, который одновременно работал в Математическом институте им. В.А. Стеклова. Ему принадлежат важные результаты в области аналитической теории чисел: новые верхние и нижние оценки в проблеме Варинга для специальных многозначных многочленов, правильные по порядку оценки сверху для специальных целозначных многочленов, правильные по порядку оценки сверху полных рациональных тригонометрических сумм, улучшающие оценки Хуа Локена, оценки полных тригонометрических сумм и сумм с характерами с рекуррентными функциями. В.И. Нечаев получил также ряд значительных результатов в теории линейно-рекуррентных последовательностей над конечными полями. Его идеи и результаты оказали существенное влияние на развитие этой ветви прикладной математики. За работы в области прикладной математики он был награждён орденом «Знак почёта». По инициативе В.И. Нечаева в программы многих вузов был включён курс «Защита информации», тесно связанный с теорией чисел.
С 1999 года и до последних лет жизни кафедрой теории чисел руководил профессор, доктор физико-математических наук Дмитрий Алексеевич Митькин. Среди его выдающихся открытий можно выделить полное решение проблемы Варинга в её классической постановке. Полученное им точное значение функции Харди является чрезвычайно редким случаем в теории чисел и подводит итог исследованиям многих математиков в этом направлении.
В разные годы на кафедре работали многие известные специалисты области аналитической теории чисел: Коробов Н.М. Воронин С.М., Павлов А.И. В настоящее время школа аналитической теории чисел представляют на кафедре ученики Нечаева В.И. — Жмулёва А.В. и Котова Л.В., ученица Павлова А.И. — Иконникова Т.К., ученик Карацубы А.А. — Чанга М.Е.
