Теория диофантовых приближений занимается вопросами нижних оценок модуля различных выражений, зависящих от переменных с арифметическими ограничениями (целочисленных, алгебраических и пр.). Она имеет многочисленные приложения к решению различных математических задач, таких, как решение диофантовых уравнений, доказательство трансцендентности чисел, компьютерная алгебра. Для решения проблем теории диофантовых приближений используется мощный аппарат математического анализа. Наиболее популярными методами в настоящее время здесь являются:
- метод Зигеля-Шидловского, берущий начало от доказательства Эрмитом трансцендентности числа «е» — основания натурального логарифма,
- метод Гельфонда-Бейкера, берущий начало от решения советским математиком А.О. Гельфондом так называемой «седьмой проблемы Гильберта».
Российская школа диофантовых приближений является одной из самых сильных в мире. В МПГУ она представлена профессором, доктором физико-математических наук, Чирским Владимиром Григорьевичем, возглавляющим кафедру теории чисел с 2007 года и одновременно работающим профессором МГУ им. М.В. Ломоносова. Чирский В.Г. занимается дальнейшим развитием метода Зигеля-Шидловского. Сам А.Б. Шидловский работал в свое время в МПГУ. Также на кафедре в настоящее время работает ученик Чирского В.Г. — Крупицын Е.С.
Направление метода Гельфонда-Бейкера также представлено в МПГУ профессором, доктором физико-математических наук, Матвеевым Евгением Михайловичем, работающим на кафедре математического анализа. Его основные результаты относятся к нижним оценкам линейных форм от логарифмов алгебраических чисел. В своё время, за усиление метода Гельфонда английский математик А. Бейкер был удостоен Филдсовской медали. Его результат открыл дорогу к приложениям оценок линейных форм от логарифмов к многочисленным диофантовым задачам. Матвееву Е.М. принадлежит сильнейшая в настоящее время оценка таких линейных форм, где в бейкеровской оценке ему удалось заменить факториальную зависимость от числа переменных на экспоненциальную. Попутно ему удалось сделать заметное продвижение в так называемой проблеме «малых алгебраических чисел», для которых имеется недоказанная гипотеза Лемера о том, что мера Малера алгебраических чисел, отличных от нуля и корней из единицы, не меньше некоторой константы, превосходящей единицу.
