Окончила МПГУ по специальности «Музыкальное образование». В 1996 году приняла участие в III конкурсе исполнительского мастерства фестиваля «Студенческая весна» в городе Владимир и завоевала I премию и звание Лауреата.
В 1998 году успешно дебютировала на сцене Государственного академического детского музыкального театра им. Н. И. Сац в партии Царицы ночи в опере В. А. Моцарта «Волшебная флейта», а затем получила приглашение участвовать в экспериментальных оперных спектаклях проекта Комитета по культуре города Москвы «Открытая сцена», где исполнила ведущии партии в операх В. А. Моцарта «Похищение из Сераля» (Констанца), С. Неллера «Тентажиль», В. Ребикова «Нарцисс».
В эти же годы принимала участие в ряде мастер-классов всемирно известных профессоров музыкально-театрального искусства, в том числе Международной школы высшего оперного мастерства в городе Лаубах (Германия).
С 2001 года Анна Гречишкина – ведущая солистка Московского музыкального театра «Геликон-опера». Ныне это признанный мастер оперной сцены, творческий облик которого многогранен и разноообразен. Совершенное вокальное мастерство, незаурядный актёрский талант и сценическое обаяние безраздельно сопутствуют во всех, свыше 30-ти исполненных ею партиях (в основном – первого положения), созданных ею сценических образах. Среди них такие вокальные и актёрские шедевры, как Марфа («Царская невеста» Н. Римского-Корсакова), Сюзанна («Свадьба Фигаро» В. А. Моцарта), Сестра Констанция («Диалоги кармелиток» Ф. Пуленка), Адель («Летучая мышь» И. Штрауса), Розина («Севильский цирюльник» Дж. Россини), Екатерина («Пётр Великий» А. Гретри), Царевна («Кащей Бессмертный» Н. А. Римского-Корсакова), Нанетта и Оскар («Фальстаф» и «Бал-маскарад» Дж. Верди), другие.
А. Гречишкина – участник многочисленных музыкальных фестивалей и гастролей театра «Геликон-опера». Её искусство не раз покоряло слушателей и зрителе й множества городов Российской Федерации от Санкт-Петербурга до Владивостока, от Краснодара до Ханты-Мансийска, и множества городов зарубежом – Германии, Франции, Испании, Японии, США, Эстонии, Ливана, Великобритании.
Мастерство актрисы всегда высоко оценивалось известными дирижёрами, с которыми она сотрудничала – В. Понькиным, Е. Бражником, С. Стадлером, Т. Курентзисом, Н. Муусом, Дж. Галлантом, С. Фермани.
Концертный репертуар певицы включает в себя вокальные циклы М. Мусоргского, М. Ипполитова-Иванова, Н. Мясковского, Д. Шостаковича, Г. Малера, камерные вокальные произведения, романсы, арии и сцены из опер отечественных и зарубежных авторов.
В 2009 году Анна Гречишкина «за большие заслуги в области театрального искусства» удостоена государственной награды – ей присвоено почётное звание «Заслуженный артист Российской Федерации».
