ГОРИН Евгений Алексеевич (28.1.1936, Москва – 4.10.2018, Москва) – д-р физ.-мат. наук (1972); проф. каф. математического анализа; чл. Московского математического общества и Американского математического общества (American Mathematical Society); чл. редколлегии журнала «Функциональный анализ и его приложения»; чл. редсовета журнала “Russian Journal of Mathematical Physics”.
В 1953 Г. поступил на механико-математический факультет МГУ. В студенческие годы научной работой занимался последовательно под руководством А.Б. Шидловского (теория чисел), Ю.М. Смирнова (общая топология), Г.Е. Шилова (функциональный анализ, дифференциальные уравнения), много лет был участником семинара И.М. Гельфанда. По окончании факультета Г. был принят в аспирантуру Отделения математики, кот-ю проходил под руководством Г.Е. Шилова, и с 1959 начал преподавательскую работу.
По окончании аспирантуры Г. более 25 лет работал на каф. теории функций и функционального анализа МГУ, а затем – на каф. математического анализа МПГУ.
Первые 3 научные работы, в дальнейшем опубликованные, Г. выполнил еще в студенческие годы. Они касались топологии, векторных пространств и банаховых алгебр, к изучению кот-х Г. пришел самостоятельно.
В 1960-е Г.Е. Шилов по инициативе И.М. Гельфанда занимался развитием теории и приложениями обобщенных функций к дифференциальным уравнениям и вел спецсеминар на эту тему. Г. в качестве аспиранта решил примкнуть к этой работе. Он описал все уравнения, для которых задача Коши разрешима в лебеговых классах, если к ним принадлежат начальные данные, а также нашел критерии гладкости решений по выделенным переменным. Кроме того, он написал обзор для «Успехов математических наук» по теории исключения Тарского–Зайденберга, указал новые ее применения, в частности, в качестве простых примеров нашел ответы на некоторые вопросы, поставленные И.Г. Петровским.
В целом это составило канд. дисс. «Частично гипоэллиптические дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами» (1962).
Сразу после защиты диссертации Г. вернулся к банаховым алгебрам и вскоре представил в журнале «Доклады Академии наук» заметку, в кот-й ему удалось снять априорное предположение о симметрии в одной теореме И. Кацнельсона, кот-я в свою очередь была обобщением классической теоремы Стоуна–Вейерштрасса (симметрия, как известно, играет там центральную роль, и просто так от нее отказаться нельзя).
Вместе с тем, он много лет продолжал заниматься дифференциальными уравнениями, главным образом совместно с В.В. Грушиным.
Вскоре после начала работы на механико-математическом факультете Г. начал (раз в 2 года) читать обширный обязательный курс Анализ-3, а в промежутках читал спецкурсы по комплексному анализу, банаховым алгебрам, элементам алгебраической топологии и другие. Кроме того, совместно с В.Я. Лином он на протяжении более 20 лет вел спецсеминар по данным темам, хорошо известный у нас в стране и за рубежом. Основная масса его аспирантов группировалась вокруг этого семинара. В целом под его руководством или при его участии около 30 человек успешно закончили аспирантуру, защитили дисс. и в дальнейшем занимали видные места в математическом сообществе. Например, Б.Т. Батикян (1948–2010) до недавнего времени был директором Ин-та математики АН Армении.
В этот период им было получено несколько интересных результатов по теории коммутативных и некоммутативных банаховых алгебр, в частности, он сделал интересное дополнение к пионерским результатам И.М. Гельфанда. Среди прочего И.М. Гельфанд обнаружил, что группа обратимых элементов не имеет малых подгрупп. Затем подгруппу заменили полугруппой. Наконец было доказано, что если , где , то a=1. Г. показал (в более общем контексте), что здесь можно заменить на , и , но нельзя на .
С конца 1960-х началось многолетнее науч. сотрудничество Г. с В.Я. Лином. Наиболее важными были исследования по приводимости сепарабельных полиномов над комплексными коммутативными банаховыми алгебрами и примыкающими проблемами алгебраической теории кос. Исходным пунктом послужила теория Бора–Фландерса 1930-х о приводимости полиномов с почти периодическими коэффициентами на оси. Алгебру почти периодических функций можно реализовать как алгебру всех непрерывных функций на коммутативной связной компактной группе. Г. и В.Я. Лин заметили, что теорема сохраняется для всех связных компактных групп. Весьма существенным было (подсказанное В.И. Арнольдом) наблюдение, что проблема приводимости тесно связана с косами Артина. В посвященной этой теме статье Г. и В.Я. Лина, в частности, впервые было дано копредставление коммутанта группы кос, что позволило уловить своеобразную форму эффекта Галуа. Заметим, что в дальнейшем В.Я. Лином и другими были найдены нетривиальные связи теории кос и теории комплексных пространств.
Из разрешимости алгебраических уравнений Г. в совместной работе со своим кубинским аспирантом К. Санчесом вывел разрешимость некоторых трансцендентных, порождаемых голоморфными по Лорху отображениями. Например, если – числовая трансцендентная целая функция экспоненциального порядка , а – полином с коэффициентами из алгебры, то годится (т.е. играет роль старшего члена). При решения может не существовать (перестает действовать теорема Вимана). Например, уравнение «с простым спектром» , где – не тривиальный характер вещественной оси, не имеет почти периодических решений.
Часть из названных результатов в совокупности составили док. дисс. «Некоторые вопросы теории коммутативных банаховых алгебр и гармонического анализа» (1972).
Среди более поздних публикаций заметное место занимает обзор в «Успехах математических наук», посвященный исследованиям Г.Е. Шилова по коммутативным банаховым алгебрам и их дальнейшему развитию. Заметим, что существенно позже Г. там же опубликовал обзор исследований Д.А. Райкова по гармоническому анализу.
В 1971 Б.Я. Левин опубликовал записки своих лекций в МГУ по целым функциям. Среди прочего они содержали абстрактный вариант леммы А. Картана об оценках снизу модуля полинома. В этих оценках речь шла о подмножествах метрических пространств, и константа явно зависела от размерности (точнее, от максимальной кратности покрытия шарами, центр каждого из которых расположен вне остальных шаров; скажем, для плоскости получается 6).
Г. удалось освободиться от явной зависимости от подобных параметров, что среди прочего позволило в дальнейшем использовать «лемму Картана» в бесконечномерной ситуации при исследовании потенциалов в бесконечномерных банаховых пространствах в совместных работах с А.Л. Колдобским.
В развитие исследований Ю.Н. Кузнецовой в своей работе по регулярным алгебрам Г. указал широкий класс алгебр (алгебры Вермера), включающий весовые – алгебры на локально компактных абелевых группах, для кот-х сохраняется критерий регулярности карлемановского типа, отмеченный Бьёрлингом и Г.Е. Шиловым в одномерном случае.
Опишем несколько важных работ Г., отчасти начатых раньше, но завершенных или продвинутых в последние 5–10 лет.
Заметный интерес вызвала совместная работа Г. и Б.Н. Кукушкина, посвященная изучению интегралов, связанных с непрерывным семейством канторовых лестниц . В отличие от классической ситуации на первом шаге из середины отрезка [0,1] удаляется -я часть (интервал), затем операция итерируется (классической лестнице отвечает q=3). Сначала авторы рассматривают интегралы от с натуральными и выводят рекуррентные соотношения, связывающие интегралы с числами Бернулли, и, с другой стороны, предъявляют формулы, позволяющие находить их последовательно.
Функция подчиняется определенным функциональным уравнениям, и это индуцирует функциональные уравнения, которым подчиняется целая функция , возникающая при замене в интеграле подынтегральной функции на . Это позволяет исследовать поведение обеих функций при больших вещественных (оно оказывается не тривиальным), и продолжить в левую полуплоскость в качестве мероморфной. Особенности тесно связаны с – функцией Римана.
Классическое неравенство Бернштейна устанавливает, что для каждой целой функции экспоненциального типа , ограниченной на вещественной оси.
Пространство всех таких функций относительно поточечных операций и -нормы по вещественной оси обозначается и называется пространством Бернштейна. Аналогично определяются пространства Бернштейна для функций нескольких переменных (и даже ассоциированные с локально компактными абелевыми группами).
Носители преобразований Фурье функций из сосредоточены в отрезке (спектр пространства). Оператор действует в , и его спектр совпадает с этим отрезком. Смысл исходного неравенства Бернштейна можно видеть в том, что норма этого оператора совпадает с его спектральным радиусом. Символом этого оператора служит простейшая не сводящаяся к константе функция . Г. отметил, что в результате сдвига символа получится функция, которая продолжается до (непрерывной) положительно определенной функции на всей -оси и что это приводит к доказательству совсем не использующему вычислений.
Г. показал, что для пространств совпадение нормы и спектрального радиуса происходит только в подобных случаях. Аналогичный результат он установил и в абстрактной ситуации. Оказывается, что тогда необходимые и достаточные условия могут расходиться, если «спектр» пространства не является множеством спектрального синтеза. Вместе с тем, такие «расхождения» зачастую позволяет, отправляясь от простого сравнения нормы и спектрального радиуса, указывать экзотические множества.
Эти результаты были развиты в работах С. Норвидаса, в прошлом одного из аспирантов Г. В дальнейших совместных работах они среди прочего нашли характеристики «универсальных» символов (пригодных для произвольных пространств Бернштейна и более общих). Оказалось, что в случае связных групп универсальные символы сводятся к одномерным. Эти последние обладают целым рядом специфических свойств, однако не тривиальной является даже задача отбора универсальных символов среди комплексных полиномов 2-й степени на оси.
Элемент z банаховой алгебры A называется разложимым, если он допускает представление z=x+iy, где x и y эрмитовы (т.е. при всех вещественных ). Такое представление единственно, если оно вообще существует. На разложимых элементах возникает (частичная) инволюция .
Оценка получается просто, и можно было бы предположить, что она является точной. Однако, как показал Г., точная константа в этом неравенстве <1.9, и это потребовало деликатной аналитической техники с привлечением специфических свойств бесселевых функций.
Натуральный ряд чисел – наиболее привычная реализация свободной счетной абелевой полугруппы со счетным семейством образующих, в качестве которых берутся все простые числа, и в этом главный смысл основной теоремы арифметики. При через обозначается количество простых . Асимптотический закон распределения простых чисел состоит в эквивалентности .
Удобно перейти от мультипликативной записи к аддитивной, в частности, в классической ситуации заменить натуральное на .
В общем случае рассматривается счетное множество неотрицательных чисел, линейно независимое над полем рациональных чисел (в классической ситуации это множество ), и через обозначается наименьшая аддитивная полугруппа, содержащая, с присоединенной точкой 0.
Полугруппа может располагаться на весьма хаотично. Обозначим через , количество тех , для которых . Аналогичный смысл имеет с заменой на .
Прямыми задачами называют такие, в которых по поведению распознается поведение . В обратных задачах роли меняются. В соответствии с типом задачи дополнительные ограничения касаются либо , либо . «Человека с улицы», конечно, больше интересуют обратные задачи, однако для теории чисел представляют интерес и прямые, но в общей постановке.
Наиболее полные результаты в таком контексте в свое время получил Б.М. Бредихин, кот-й принадлежал к школе Ю.В. Линника и действовал «элементарными» средствами, совсем избегая комплексного анализа. Однако такой подход оставлял необъяснимый «зазор» между прямыми и обратными задачами.
Г. показал, что этот «зазор» ликвидировать нельзя и выяснил, что все дело в расположении нулей – функции полугруппы X. Оказывается, для некоторых полугрупп нули могут «выползать» на критическую прямую, и тогда в «асимптотическом законе» вместо константы заведомо появляется полином типа тригонометрического, однако строго отделенный от нуля.
Ключевой момент рассуждений Г. – рассмотрение – функции в комплексной плоскости. Оказывается, – функция на вертикальных прямых высекает положительно определенную функцию (следствие эйлерова произведения).
Отдельная лемма состоит в том, что для каждой вещественной положительно определенной функции f на локально компактной абелевой группе (интеграл по мере Хаара), и дело заканчивается рассмотрением (разрывной) положительно определенной функции на критической прямой, которая возникает при нормировке вещественной части и переходе к пределу при .
Г. – автор/соавтор более 200 науч. работ. Написал несколько больших статей и коротких заметок для Математической энциклопедии под ред. И.М. Виноградова. Г. принадлежит ряд методических работ, написанных в основном совместно с Т.Н. Казарихиной. Несколько статей по алгебре и теории чисел опубликовано в «Математическом просвещении».
Г. работал науч. редактором в издательстве «Мир», в дальнейшем –ведущим научным сотрудником в Ин-те проблем передачи информации. Много лет сотрудничал с «Реферативным журналом» и американским “Mathematical Review”. Г. перевел 2 книги и десяток переводов снабдил предисловиями.
Г. неоднократно посещал зарубежные ун-ты и многочисленные города бывшего СССР с лекциями по приглашению, участвовал в различных конференциях, выступал на заседаниях Московского, Ленинградского и Харьковского математических обществ.
В 1993 Г. был отмечен 1-ой премией МПГУ за науч. исследования, а в 2011 – премией П.С. Новикова.
С о ч.: Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических функций от нескольких переменных // Успехи математических наук. Т. 16, вып. 1 (97). 1961; (в соавт. с В.Я. Лином). Алгебраические уравнения с непрерывными коэффициентами и некоторые вопросы алгебраической теории кос // Математический сборник. Т. 78, № 4. 1969; (в соавт. с Б.Н. Кукушкиным). Интегралы, связанные с канторовой лестницей // Алгебра и анализ. Т. 15, вып. 3. 2003; Оценки инволюции разложимых элементов комплексной банаховой алгебры // Функциональный анализ и его приложение. Т. 39, вып. 4. 2005; Asymtotic low for the distributions of prime numbers in context of free Abelian semigroups // “Russian Journal of Mathematical Physics. Т. 13, вып. 1. 2006; Функция Мебиуса на абелевых полугруппах // Функциональный анализ и его приложение. Т. 45, вып. 1. 2011; О регулярности групповых алгебр // Математический сборник. Т. 200, № 8. 2009; Степени простых чисел в составе пифагоровых троек //
Математическое просвещение. Сер. 3. № 12. 2008; Некоторые функционально-дифференциальные уравнения, разрешимые в финитных функциях // Алгебра и анализ. Т. 18, вып. 5. 2006; Введение в теорию множеств и теорию меры: учеб. пос. для студентов вузов, обучающихся по специальности 032100 – математика / Е.А. Горин; М-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. пед. гос. ун-т. М., 2005; Введение в теорию аналитических функций: учеб. пос. для студентов вузов, обучающихся по спец. 032100 / Е.А. Горин; М-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. пед. гос. ун-т. М., 2005.
