Навигация по сайту

Диофантовы приближения и трансцендентные числа

Теория диофантовых приближений занимается вопросами нижних оценок модуля различных выражений,  зависящих от переменных с арифметическими ограничениями  (целочисленных,  алгебраических и пр.).  Она имеет многочисленные приложения к решению различных математических задач,  таких,  как решение диофантовых уравнений,  доказательство трансцендентности чисел,  компьютерная алгебра.  Для решения проблем теории диофантовых приближений используется мощный аппарат математического анализа.  Наиболее популярными методами в настоящее время здесь являются:

  • метод Зигеля-Шидловского, берущий начало от доказательства Эрмитом трансцендентности числа «е»  —  основания натурального логарифма,
  • метод Гельфонда-Бейкера, берущий начало от решения советским математиком А.О. Гельфондом так называемой «седьмой проблемы Гильберта».

Российская школа диофантовых приближений является одной из самых сильных в мире.  В МПГУ она представлена профессором,  доктором физико-математических наук,  Чирским Владимиром Григорьевичем,  возглавляющим кафедру теории чисел с 2007 года и одновременно работающим профессором МГУ им. М.В. Ломоносова.  Чирский В.Г.  занимается дальнейшим развитием метода Зигеля-Шидловского.  Сам А.Б. Шидловский работал в свое время в МПГУ.  Также на кафедре в настоящее время работает ученик Чирского В.Г.  —  Крупицын Е.С.

Направление метода Гельфонда-Бейкера также представлено в МПГУ профессором,  доктором физико-математических наук,  Матвеевым Евгением Михайловичем,  работающим на кафедре математического анализа.  Его основные результаты относятся к нижним оценкам линейных форм от логарифмов алгебраических чисел.  В своё время,  за усиление метода Гельфонда английский математик А. Бейкер был удостоен Филдсовской медали.  Его результат открыл дорогу к приложениям оценок линейных форм от логарифмов к многочисленным диофантовым задачам.  Матвееву Е.М.  принадлежит сильнейшая в настоящее время оценка таких линейных форм,  где в бейкеровской оценке ему удалось заменить факториальную зависимость от числа переменных на экспоненциальную.  Попутно ему удалось сделать заметное продвижение в так называемой проблеме «малых алгебраических чисел», для которых имеется недоказанная гипотеза Лемера о том,  что мера Малера алгебраических чисел,  отличных от нуля и корней из единицы,  не меньше некоторой константы,  превосходящей единицу.